特里波纳契数（Tribonacci Number）是一个数列，其中每个数都是前三个数的和。特里波纳契数列的定义如下：

T(0) = 0

以下是使用Objective-C实现特里波纳契数的算法示例：

@interface Tribonacci : NSObject
- (NSInteger)tribonacciNumberForIndex:(NSInteger)n;
- (NSInteger)computeTribonacciNumbersUpToIndex:(NSInteger)n;
- (NSArray *)generateTribonacciNumbersUpToIndex:(NSInteger)n;
@end

计算特里波纳契数的方法

- (NSInteger)tribonacciNumberForIndex:(NSInteger)n {
    if (n < 0) return 0;
    if (n == 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 1;
    
    NSInteger a = 1;  // T(n-3)
    NSInteger b = 1;  // T(n-2)
    NSInteger c = 1;  // T(n-1)
    
    for (NSInteger i = 3; i <= n; i++) {
        NSInteger next = a + b + c;
        a = b;
        b = c;
        c = next;
    }
    return c;
}

生成特里波纳契数列

- (NSInteger)computeTribonacciNumbersUpToIndex:(NSInteger)n {
    if (n < 0) return 0;
    if (n == 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 1;
    
    NSInteger a = 1;  // T(n-3)
    NSInteger b = 1;  // T(n-2)
    NSInteger c = 1;  // T(n-1)
    
    for (NSInteger i = 3; i <= n; i++) {
        NSInteger next = a + b + c;
        a = b;
        b = c;
        c = next;
    }
    return c;
}

生成特里波纳契数列数组

- (NSArray *)generateTribonacciNumbersUpToIndex:(NSInteger)n {
    if (n < 0) return @[];
    if (n == 0) return @0;
    if (n == 1) return @1;
    if (n == 2) return @1;
    
    NSInteger a = 1;  // T(n-3)
    NSInteger b = 1;  // T(n-2)
    NSInteger c = 1;  // T(n-1)
    
    NSInteger current = 0;
    NSMutableArray *numbers = [NSMutableArray new];
    
    for (NSInteger i = 0; i <= n; i++) {
        current = a + b + c;
        [numbers addObject:current];
        a = b;
        b = c;
        c = current;
    }
    
    return [numbers copy];
}

算法解释

该算法通过迭代的方式计算特里波纳契数。首先，定义了三个初始变量a、b、c分别对应T(n-3)、T(n-2)、T(n-1)。然后，通过循环从3到n依次计算每个T(i)，并更新a、b、c的值。最终返回T(n)。

该实现通过避免递归，显著提高了计算效率，适用于较大的n值。