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为了解决这个问题，我们需要找到满足条件的整数对 (i, j) 的数量，使得 N = i * j + i + j，其中 0 < i ≤ j。

方法思路

我们可以将问题转化为数学公式： N = i * j + i + j 可以改写为： N + 1 = (i + 1) * (j + 1)

这意味着我们需要找到 N + 1 的所有因数对 (a, b)，其中 a ≤ b 且 a 和 b 都是至少 2 的整数。因此，问题转化为计算 N + 1 的因数数目，并统计其中满足条件的因数对数目。

具体步骤如下：

解决代码

import math
def factorize(M):
    factors = {}
    while M % 2 == 0:
        factors[2] = factors.get(2, 0) + 1
        M = M // 2
    i = 3
    while i * i <= M:
        while M % i == 0:
            factors[i] = factors.get(i, 0) + 1
            M = M // i
        i += 2
    if M > 1:
        factors[M] = 1
    return factors
def generate_factors(factors):
    factor_list = list(factors.items())
    factors = [1]
    for (p, exp) in factor_list:
        temp = []
        for d in factors:
            current = d
            for e in range(exp + 1):
                temp.append(current)
                current *= p
        factors = list(set(temp))
    return sorted(factors)
def count_valid_factors(factors, M):
    sqrt_m = math.isqrt(M)
    count = 0
    for f in factors:
        if f >= 2 and f <= sqrt_m:
            count += 1
    return count
def main():
    import sys
    input = sys.stdin.read().split()
    T = int(input[0])
    for i in range(1, T + 1):
        N = int(input[i])
        M = N + 1
        if M == 1:
            print("00")
            continue
        factors = factorize(M)
        factors_list = generate_factors(factors)
        count = count_valid_factors(factors_list, M)
        print(f"{count:02d}")
if __name__ == "__main__":
    main()

代码解释

该方法通过质因数分解高效地计算因数数目，确保在大数据范围内也能快速解决问题。